К азалось бы, что может быть сложного или неправильного в изображении пирамиды? Неужели и здесь репетитор по математике не обходится без специальных приемов и методик? Отмечается всего лишь 4 точки (любые 3 из которых не лежат на одной прямой) и соединяются шестью отрезками. И все. Что здесь обсуждать? Но даже в такой простой ситуации репетитору по математике приходится исправлять ученические ошиби. Даже не столько математические, сколько стратегические. Какие? Рисунок, на котором невозможно рассмотреть или показать элементы пространственного тела, подписать значения величин, на котором не развернуться с дополнительными построениями, лучше переделать. Это должен понимать любой репетитор и в начале курса подготовки к ЕГЭ потратить некоторое время на обучение правилам и культуре чертежа. Кроме требований к его аккуратности и удобному расположению информации из условия задачи существуют еще и математические законы его выполнения. Рассмотрим их подробнее.
Метод изображений — отдельный предмет, изучению которого на математическом факультете МПГУ отводится целый семестр. То, что мы рисуем на бумаге – следы от проекций частей тела на некоторую плоскость. От нее зависит то, какие отрезки и какие сечения будут отчетливо видны, а какие окажутся «наползающими» друг на друга или скрытыми. Когда репетитор по математике решает, с какой стороны нарисовать ученику пирамиду, он определяет расположение плоскости и направление проецирования.
Существуют геометрические законы проецирования простейших стереометрических объектов. Длины непараллельных отрезков, например, при изображении могут менять соотношение своих длин (преподавателю лучше произнести «искажаются»). Если в реальности один из них больше другого, то в проекции может быть все с точностью до наоборот. Тоже самое и с углами. Прямой угол может проецироваться как в острый, так и в тупой. Для того, чтобы репетитору математики убедить в этом ученика стоит покрутить перед его глазами обычный угольник. Однако отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или совпадающих прямых, не меняется и, в частности, не искажаются середины сторон многоугольников (граней пирамиды). Это объясняет закон расположения основания высоты правильной треугольной пирамиды: оно должно являться точкой пересечения его медиан (центром тяжести). Не искажается также параллельность. Если в пространстве имеется параллельность между прямыми, то она сохраняется и между их следами. Поэтому изображением основания правильной четырехугольной пирамиды выбирается параллелограмм.
Важно расположить пирамиду так, чтобы все ее части не просто были видны, а допускали бы дальнейшее усложнение чертежа: проведение апофем, следов от сечений и т.д.
Для этого строить, например, правильную пирамиду желательно снизу вверх через высоту (так она используется почти во всех задачах). Сначала репетитор по математике рисует основание пирамиды, затем ее центр и из этой точки восстанавливает перпендикуляр. Его верний конец выбирается так, чтобы все наклонные ребра были достаточно удалены друг от друга. Если строить в обратном порядке можно промахнуться с центром многоугольника. Конечно, это не критично для решения задач на правильную треугольную пирамиду, но все равно неприглядно для восприятия. Середины должна отображаться серединами.
Построение основания
.
Независимо от вида основания тетраэдра его изображают остроугольным треугольником и вытягивают влево или вправо. Зачем? Если он будет равнобедренным, то одно из боковых ребер закроет высоту (если конечно ее основание правильно расположено). Это показано на рисунке.
Каким краем лучше всего изобразить пирамиду? То есть как оптимально выбрать плоскость для проецирования? Некоторые преподаватели и репетиторы по математике, к сожалению, не обращают внимание на такую «мелочь» как фронтальное расположение пирамиды. А зря. Существует два вида рисунка: «уголком основания к нам» или «уголком от нас» Рассмотрим рисунок с «уголком ABC от нас»:
Восстанавливаем высоту снизу вверх и выбираем положение ее конца (вершины пирамиды) с расчетом на приемлемый размах грани ABP. Для этого самое главное не попасть точкой P на линию AB. Иначе мы грань не увидим. Значительное отклонение от точки пересечения (в изображении) линий AB и OP вызывает довольно небольшое отклонение луча AP от луча AB и поэтому, чтобы добиться размаха грани ABP, необходимо выбирать точку P или очень низко или очень высоко.
Последнее может чрезмерно укрупнить рисунок, вытягивая пирамиду вверх (сокращая пространство для самого решения), а низкая точка делает рисунок мелким. Поэтому я не рекомендую репетиторам по математике работать с таким фронтом. Лучше всего перевернуть треугольник ABC уголком к нам.
Заметьте, что теперь положение точки P никак не сказывается на читабельности грани ABP и если не равнобедренный и «сильно остроугольный», а точка О – его центр тяжести (то есть O не на высоте основания), то высота пирамиды не будет закрыта ребром BP ни при каком расположении вершины P. 
В этом случае репетитор по математике получает определенную свободу выбора вершины пирамиды, что крайне важно для улучшения читабельности дальнейших построений в сложных задачах.
Прорисовка невидимых линий.
Репетитор по математике, конечно, может обойтись и без пунктиров. Однако что русскому то хорошо, то немцу смерь. Ученику — важно воспринять тело именно с той стороны, с которой его видит репетитор. Особенно при работе с гранями. Я советую преподавателю математики чаще называть грани не по вершинам, а по их естественному расположению: «ближняя», «дальняя», «левая», «правая». Если в голове у ребенка сформируется образ объекта «задом наперед», то возникнут проблемы с описанием хода дополнительных построений, чтением рисунка и даже с объяснением непонятных моментов решений.
о построении четырехугольной пирамиды
.
Основание правильной четырехугольной пирамиды следует изображаться в виде параллелограмма. Почему? Конечно, можно так расположить квадрат к плоскости проецирования, чтобы прямые углы сохранились (и мы получим прямоугольник), но тогда апофемы двух ближних граней будут закрывать высоту пирамиды. Другого объяснения сложившимся стандартам изображений я не нахожу.
Александр Колпаков, репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ .
Чертеж — первый и очень важный шаг в решении геометрической задачи. Каким должен быть рисунок правильной пирамиды?
Сначала вспомним свойства параллельного проектирования :
— параллельные отрезки фигуры изображаются параллельными отрезками;
— сохраняется отношение длин отрезков параллельных прямых и отрезков одной прямой.
Рисунок правильной треугольной пирамиды
Сначала изображаем основание. Поскольку при параллельном проектировании углы и отношения длин не параллельных отрезков не сохраняются, правильный треугольник в основании пирамиды изображается произвольным треугольником.
Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан треугольника. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, мысленно соединяем вершину основания с серединой противолежащей стороны, приблизительно делим ее на три части, и на расстоянии 2 частей от вершины ставим точку. Из этой точки вверх проводим перпендикуляр. Это — высота пирамиды. Перпендикуляр рисуем такой длины, чтобы боковое ребро не закрывало изображение высоты.
Рисунок правильной четырехугольной пирамиды
Рисунок правильной четырехугольной пирамиды также начинаем с основания. Поскольку параллельность отрезков сохраняется, а величины углов — нет, то квадрат в основании изображается параллелограммом. Желательно острый угол этого параллелограмма делать поменьше, тогда боковые грани получаются больше. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Проводим диагонали, из точки пересечения восстанавливаем перпендикуляр. Этот перпендикуляр — высота пирамиды. Выбираем длину перпендикуляра таким образом, чтобы боковые ребра не сливались между собой.
Рисунок правильной шестиугольной пирамиды
Поскольку при параллельном проектировании параллельность отрезков сохраняется, основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник — изображаем шестиугольником, у которого противолежащие стороны параллельны и равны. Центр правильного шестиугольника — точка пересечения его диагоналей. Чтобы не загромождать рисунок, диагонали не проводим, а находим эту точку приблизительно. Из нее восстанавливаем перпендикуляр — высоту пирамиды — так, чтобы боковые ребра не сливались между собой.
Египет — таинственная цивилизация. Пирамида без сомнений является одним из главных артефактов этой страны. Когда мы видим на картинках изображение этого сооружения, понимаем, что речь идет об Египте, фараонах, мистике, туристах и путешествиях. Каждый художник в рисунке выражает свои мысли. Поэтому в этом уроке мы научимся геометрически точно изображать многогранник, рисовать статуи у её входа и египетскую природу.
Для начала мы узнаем, как нарисовать пирамиду карандашом.
Нарисуем треугольник.
Из верхнего угла проведем линию к любой точке на его основании. От того, в каком месте линия будет пересекать основание, будет зависеть итоговый ракурс, с которого зритель смотрит на многогранник.
К отрезку, оставшемуся внизу, построим две линии от правого и левого углов.
Уберем нижнее горизонтальное ребро, которое находится внутри и зритель не может его видеть. Получится вот так:
Добавим цвет и текстуру, её можно показать образно, в некоторых местах. Так будет понятно, что сооружение сделано из кирпича.
Давайте разберемся, как же поэтапно нарисовать пирамиду? Делается это всего лишь за три шага.
Этап 1
Рисуем основание как и в предыдущем примере.
Этап 2
Стираем ребро невидимой части основания. Обводим готовый контур.
Этап 3
Представляем, какое будет освещение и откуда будет падать свет. Это может быть солнце в пустыне, а может и свет от лампы, который падает на настольную фигуру. Та сторона, на которую падает свет — светлее, в тени — темнее. При более детальной подходе можно наложить тень между камнями монумента.
Теперь посмотрим, как нарисовать египетскую пирамиду. Для этого изобразим её и пейзаж Египта.
Нарисуем основание.
Отметим верхнюю точку. Из углов ромба построим ребра фигуры. Наметим горизонт.
Можно строить так, как указанно в первой части статьи. Для удобства мы изображаем разными способами.
Нарисуем текстуру и песок.
Добавим солнце, небо, рельеф пустыни, тень, которая падает с обратной стороны от солнца. Не забудем о тени на самом сооружении.
Наш рисунок готов.
Одна из величайших гробниц в Египта. В этой части урока мы узнаем, как нарисовать пирамиду Хеопса на бумаге. Для этого нам понадобится построить пирамиду, вход в неё и статуи по обеим сторонам от дверей.
Рисуем треугольник.
Добавляем перспективу. Подробно, как строить перспективу, показано в первых частях урока.
Рисуем текстуру. Горизонтальные линии кирпича параллельны горизонтальным линиям основы конструкции. В остальном кирпич рисуется, как обычный прямоугольник, только нужно учитывать, что то, что ближе к глазу — больше, а дальше — меньше.
Оставляем свободное место, для того чтобы поместился вход и статуи. Остальное можно обвести.
Строим прямоугольник. После этого две параллельные прямоугольнику линии справа и слева от него. Эти отметки помогут нам при изображении статуй.
Более детально прорисуем вход и статуи.
Нарисуем рельеф пустыни, небо и солнце. Добавим цвет.
Египетский пейзаж готов!
Одно из главных особенностей фигуры — это ее правильное построение, это также касается вопроса как нарисовать треугольную пирамиду. В древнем Египте хоронили фараонов, тело которых оставалось таким, как и в первоначальном состоянии после бальзамирования долгие долгие годы. Секрет этого в том, что внутри правильно построенного многогранника замедляются процессы жизнедеятельности.
В заключение этого небольшого пособия мы посмотрим, как нарисовать треугольную пирамиду.
Рисуем фигуру с тремя равными сторонами. Для этого легче всего использовать транспортир. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам.
Измерим каждую сторону и поделим пополам. К середине каждой стороны проведем линию из противоположного угла. Отметим точку пересечения трех полученных линий.
Из точки пересечения нарисуем горизонтальную линию, равную высоте полученной линии. Проведем линии от верха треугольника до углов его основания.
А вот так выглядит правильная четырехугольная пирамида.
Египетские пирамиды не теряют популярности у археологов и исследователей древности всего мира. Чем же подогревается подобный интерес? Видимо тем, что человечество до сих по затрудняется с полной уверенностью сказать, как именно они были возведены и правда ли, что быть гробницами фараонов - их единственное предназначение.
Периодически вдохновленные красотой древней архитектуры, творческие люди задумываются над тем, как нарисовать пирамиды, передав ощущение их величия зрителю.
Как бы то ни было, а эти масштабные памятники древней архитектуры сейчас могут увидеть все желающие, приехав в Египет. Знаменитая которая к тому же из всех, входит в семь чудес света.
Древние цари использовали пирамиды как склад для своих вещей, которые непременно им понадобятся в загробном мире.
Наверняка строить эти гигантские сооружения было очень тяжело. А вот рисовать их не составит особого труда. Так как нарисовать египетскую пирамиду? Сначала надо определиться, о какой именно гробнице идет речь. Обычно при упоминании пирамид имеют в виду Великие
Вот как они выглядят.
Отлично, с этим разобрались. Но как нарисовать пирамиды, которые находятся в Гизе? Очень просто, особенно если вы умелы в геометрии и черчении. Ведь, по сути, все много раз рисовали эти фигуры в школе. Остается только вспомнить все и внести кое-какие корректировки.
Если до этого вы не знали, как нарисовать пирамиду карандашом, теперь видите, что сделать это легко и просто!
При желании можно раскрасить свой рисунок. При этом не ограничивайте свою фантазию. Можете изобразить наследие архитектуры в ночное время. Для этого закрасьте верхнюю часть темно-синим цветом и дорисуйте маленькие звездочки или луну. Сам песок разукрасьте насыщенным темно-желтым цветом. Это создаст необходимый контраст, придаст яркости картине.
Теперь вы знаете, как нарисовать пирамиды. И как вы могли заметить, ничего сложного в этом абсолютно нет. Поэтому не бойтесь, пробуйте и развивайте свои творческие способности!
В этом уроке вы узнаете, как нарисовать правильные трехмерные пирамиды карандашом поэтапно. Я всегда мечтала поехать в Египет и взобраться на древнюю пирамиду. А вы?
Мы будем рисовать пирамиду, используя следующие концепции: перекрытие, линия горизонта, тени и затенения. Этот урок также поможет вам попрактиковать в нанесении гладких односторонних теней. Так как стороны пирамиды плоские, они требуют последовательного затенения в отличие от цилиндров, флагов и других криволинейных поверхностей, которые требуют растушеванного затенения от темного к светлому. Приступим.
1. Нарисуйте прямую вертикальную линию.
2. Наклоните стороны пирамиды вниз, сохраняя угол между ними одинаковым и сделав среднюю линию чуть длиннее.
3. Представляя компас направлений, нарисуйте нижнюю часть пирамиды в направлениях СЗ и СВ.
4. Заякорите пирамиду на песке с помощью линии горизонта. Расположите световой источник и нарисуйте линии в направлении ЮЗ для падающей тени.
5. Теперь добавьте однотонное гладкое затенение на одну сторону пирамиды напротив источника света.
6. Вы можете на это остановиться, у вас получилась отличная пирамида! А можете добавить кирпичную текстуру, с осыпающимися краями и нагроможденными каменными обломками и у вас получаться руины. Я думаю о том, чтобы добавить двери. Странно? Глупо? Набросайте положение дверей.
7. На двери справа – откос справа, на двери слева – откос слева. Нарисуйте откосы на правой стороне.
8. Теперь на левой.
9. Завершите затенение на сторонах противоположных от светового источника. Помните, это плоская поверхность, которая подразумевает гладкое однотонное затенение без растушевки. Однако внутри изогнутой двери справой стороны нужно сделать растушевку потому, что на изогнутых поверхностях вы всегда должны растушевывать тень от темного к светлому, а на плоских – добавлять однотонную штриховку на сторонах, отвернувшихся от источника света.
УРОК 19: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Все зависит от того, сколько времени вы можете выделить на эту чудесную сцену с множеством пирамид. Обратите внимание как одна пирамида находится ниже уровня горизонта и несколько пирамид на расстоянии, за горизонтом. Очень интересное замечание в законах рисования, что перекрытие всегда выигрывает перед остальными восемью законами. Посмотрите, размер не играет роли на этой картине. Обычно, предметы, которые мы рисуем больше, появляются ближе, и которые меньше – дальше. Однако на этом рисунке, хоть огромную пирамиду затмевают маленькие, она все равно смотрится дальше, глубже на картинке. Почему? Из-за силы перекрытия. Маленькие пирамиды нарисованы впереди большой, таким образом создается иллюзия, что гигантская дальше.
