Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина . Показатель в форме средней величи-ны выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних величин объясняется тем, что они позволяют и сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным сово-купностям. Например, можно сравнивать среднюю продолжитель-ность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень заработной платы по различным предприятиям.
Сущность средних величин заключается в том, что в них взаи-мопогашаются отклонения значений признака у отдельных единиц со-вокупности, обусловленные действием случайных факторов. Поэтому средние величины должны рассчитываться для достаточно много-численных совокупностей (в соответствии с законом больших чи-сел). Надежность средних величин зависит также от колеблемости значений признака в совокупности. В общем случае, чем меньше ва-риация признака и чем больше совокупность, по которой определяет-ся средняя величина, тем она надежнее.
Типичность средней величины непосредственным образом свя-зана также с однородностью статистической совокупности. Сред-няя величина только тогда будет отражать типичный уровень призна-ка, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В противном случае метод средних используется в сочетании с методом группировок. Если совокупность неоднородна, то общие средние заменяются или дополняются групповыми средними, рассчитанными по качественно однородным группам.
Выбор вида средних определяется экономическим содержание ем исследуемого показателя и исходных данных. Наиболее часто в статистике применяются следующие виды средних величин: степен-ные средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д.), средняя хронологическая, а также структурные средние (мода и медиана).
Средняя арифметическая величина наиболее часто встреча-ется в социально-экономических исследованиях. Средняя арифмети-ческая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.
Рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.1):
где x - индивидуальные значения признака (варианты);
n - число единиц совокупности.
Пример. Требуется найти среднюю выработку рабочего в бри-гаде, состоящей из 15 человек, если известно количество изделий, произведенных одним рабочим (шт.): 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.2):
где f - частота повторения соответствующего значения признака (варианта);
∑f — общее число единиц совокупности (∑f = n).
Пример . На основании имеющихся данных о распределении ра-бочих бригады по количеству выработанных ими изделий требуется найти среднюю выработку рабочего в бригаде.
Примечание 1. Средняя величина признака в совокупности может рассчитываться как на основании индивидуальных значений признака, так и на основании групповых (частных) средних, рассчитанных по отдельным частям совокупности. При этом используется формула средней арифметической взвешенной, а в качестве вариантов значений признака рассматриваются групповые (частные) средние (x j ).
Пример. Имеются данные о среднем стаже рабочих по цехам завода. Требуется определить средний стаж рабочих в целом по заводу.
Примечание 2. В том случае, когда значения осредняемого признака зада-ны в виде интервалов, при расчете средней арифметической величины в качестве значений признака в группах принимают средние значения этих интервалов (х ’) . Таким образом, интервальный ряд преобразуется в дискретный. При этом величи-на открытых интервалов, если таковые имеются (как правило, это первый и по-следний), условно приравнивается к величине интервалов, примыкающих к ним.
Пример. Имеются данные о распределении рабочих предпри-ятия по уровню заработной платы.
Средняя гармоническая величина является модификацией средней арифметической. Применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака, т. е. варианты (x ), и произведений вариант на частоту (xf = М), но неизвестны сами частоты (f ).
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле (4.3):
Пример . Требуется определить средний размер заработной платы работников объединения, состоящего из трех предприятий, если известен фонд заработной платы и средняя заработная плата работников по каждому предприятию.
Средняя гармоническая простая в практике статистики исполь-зуется крайне редко. В тех случаях, когда xf = Mm = const, средняя гар-моническая взвешенная превращается в среднюю гармоническую простую (4.4):
Пример . Две машины прошли один и тот же путь. При этом одна из них двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая - со скоростью 80 км/ч. Требуется определить среднюю скорость машин в пути.
Средняя геометрическая величина используется при расчете средних показателей динамики. Средняя геометрическая применяется в форме простой средней (для несгруппированных данных) и взве-шенной средней (для сгруппированных данных).
Средняя геометрическая простая (4.5):
где n — число значений признака;
П — знак произведения.
Средняя геометрическая взвешенная (4.6):
Средняя квадратическая величина используется при расчете показателей вариации. Применяется в форме простой и взвешенной.
Средняя квадратическая простая (4.7):
Средняя квадратическая взвешенная (4.8):
Средняя кубическая величина используется при расчете показателей асимметрии и эксцесса . Применяется в форме простой взвешенной.
Средняя кубическая простая (4.9):
Средняя кубическая взвешенная (4.10) :
Средняя хронологическая величина используется для расчета среднего уровня ряда динамики (4.11):
Помимо рассмотренных выше средних величин в статистике используются структурные средние, к которым относятся мода и ме-диана.
Модой (Мо) называется значение изучаемого признака (вари-ант), которое чаще всего встречается в совокупности. В дискретном ряду мода определяется достаточно просто — по максимальному пока-зателю частоты. В интервальном вариационном ряду мода приблизительно соответствует центру модального интервала, т. е. интервала, имеющего большую частоту (частость).
Конкретное значение моды рассчитывается по формуле (4.12):
где нижняя граница модального интервала;
ширина модального интервала;
частота, соответствующая модальному интервалу;
частота интервала, предшествующего модальному;
частота интервала, следующего за модальным.
Медианой (Ме) называется значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда. Под ранжированным понимают ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания значений признака. Медиана делит ранжированный ряд на две части, одна из которых имеет значения признака не большие, чем медиана, а друга - не меньшие.
Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медиа-ной является варианта, расположенная в центре ряда. Положение ме-дианы определяется порядковым номером единицы ряда в соответст-вии с формулой (4.13):
где n - число членов ранжированного ряда.
Для ранжированного ряда с четным числом членов медиа-ной является среднее арифметическое из двух смежных значений, на-ходящихся в центре ряда.
В интервальном вариационном ряду для нахождения медиа-ны применяется следующая формула (4.14):
где нижняя граница медианного интервала;
ширина медианного интервала;
накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
частота медианного интервала.
Пример. Рабочие бригады, состоящей из 9 чел., имеют сле-дующие тарифные разряды: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Требуется опреде-лить модальное и медианное значения тарифного разряда.
Поскольку в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, то этот разряд и будет модальным, т. е. Мо = 3.
Для определения медианы осуществим ранжирование исходного ряда в порядке возрас-тания значений признака:
2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.
Центральным в этом ряду является пятое по счету значение признака. Соответственно Ме = 4.
Пример. Требуется определить модальный и медианный тарифный разряд рабочих завода по данным следующего ряда распределения.
Поскольку исходный ряд распределения является дискретным, то модальное значение определяется по максимальному показателю частоты. В данномпримере на заводе больше всего рабочих 3-го разряда (f max = 30), т.е. этот разряд является модальным (Мо = 3).
Определим положение медианы. Исходный ряд распределения построен на основании ранжированного ряда, упорядоченного по воз-растанию значений признака. Середина ряда находится между 50-м и 51-м порядковыми номерами значений признака. Выясним, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Для это-го рассчитаем накопленные частоты. Накопленные частоты ука-зывают на то, что медианное значение тарифного разряда равно трем (Ме = 3), поскольку значения признака с порядковыми номе-рами от 39-го до 68-го, в том числе 50-е и 51-е, равны 3.
Пример. Требуется определить модальную и медианную зара-ботную плату рабочих завода по данным следующего ряда распределения.
Поскольку исходный ряд распределения является интерваль-ным, то модальное значение заработной платы рассчитывается по формуле. При этом модальным является интервал 360-420 с максимальной частотой, равной 30.
Медианное значение заработной платы также рассчитывает-ся по формуле. При этом медианным является интервал 360-420, на-копленная частота которого равна 70, тогда как накопленная час-тота предыдущего интервала составляла только 40 при общем числе единиц, равном 100.
Средняя гармоническая является обращенной к средней арифметической, исчисленную из обратных значений усредненной признаки. В зависимости от характера имеющегося материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты, или, что то же самое, умножать на обратное их значение. Таким образом, средняя гармоническая рассчитывается, когда известны данные об объеме признаки (Ш=хф) и индивидуальные значения признака (х) и неизвестные веса (ф). Так как объемы признаков представляют собой произведение значений признака (х) на частоту ф, то частоту ф определяют съемные = Ш: х.
Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:
Как видно, средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, предварительно определив веса отдельных значений признака. При исчислении средней гармонической весами являются объемы признаков.
Средняя гармоническая простая применяется в случаях, когда объемы явлений по каждому признаку уровне.
Например, три комбайнера работают на уборке зерновых культур. Первый комбайнер на уборке 1 га в течение 7-часовой смены затрачав 35 мин, второй - 31 мин, третий - 33 мин. Нужно определить средние затраты труда на уборку 1 га зерновых культур.
Расчет средних затрат времени на уборку 1 га зерновых культур по формуле средней арифметической простой был бы правильным
тогда, когда бы все комбайнеры в течение смены собрали по 1 га или одинаковое количество гектаров зерновых культур. Однако в течение смены отдельными комбайнерами была собрана разная площадь зерновых культур.
Неправомерность применения формулы средней арифметической объясняется еще и тем, что показатель затрат труда на единицу работ (уборки 1 га зерновых культур) является обратным к показателю производительности труда (сбора зерновых культур за единицу времени).
Среднее время, необходимое для уборки 1 га зерновых культур по всем комбайнерах определим как отношение затрат времени всеми комбайнерами до общего количества собранных гектаров. В нашем примере нет сведений о количестве фактически собранных гектаров каждым комбайнером. Однако эти величины можно вычислить по следующим соотношением:
где все затраченное время для каждого комбайнера составит 420 мин (7год o 60 мин).
Тогда средние затраты времени на уборку 1 га зерновых культур можно определить по формуле:
Расчеты можно значительно упростить, если использовать формулу средней гармонической простой:
Итак, по этой совокупности комбайнеров на уборку 1 га зерновых культур в среднем затрачивается 32,9 мин.
Порядок расчета средней гармонической взвешенной рассмотрим на следующем примере (табл. 4.3).
Таблица 4.3. Данные для расчета средней гармонической взвешенной
Поскольку средняя урожайность представляет собой отношение валового сбора к площади посева, то сначала определим площадь посева картофеля по каждому хозяйству, а затем среднюю урожайность:
Согласно одной из свойств средняя гармоническая не изменится, если объемы явлений, которые являются весами отдельных вариант, умножить или разделить на какое-либо произвольное число. Это дает возможность при ее исчислении пользоваться не абсолютными показателями, а их удельными весами. Допустим, нужно определить среднюю цену реализации картофеля по следующим данным (табл.4.4).
Таблица 4.4. Данные для расчета средней цены реализации картофеля
В приведенном примере отсутствуют данные о выручке от реализации отдельных сортов картофеля, которая представляет собой произведение цены реализации 1 ц на количество реализованной картофеля. Поэтому вместо объемов явлений можно использовать их соотношение, то есть удельный вес отдельных сортов картофеля в общей выручке. Используя данные таблицы, определим среднюю цену реализации картофеля:
Среднюю гармоническую применяют также для определения средней урожайности по группе однородных культур, если известны валовой сбор и урожайность отдельных культур, для расчета среднего процента выполнения плана производства и реализации продукции по однородной совокупности, если известны данные о фактически произведенную или реализованную продукцию и процент выполнения плана по отдельным объектам и т.д.
Средняя гармоническая — используется, когда статистическая информация не содержит данных о весах по отдельным вариантам совокупности, но известны произведения значений варьирующего признака на соответствующие им веса.
Общая формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:
х – величина варьирующего признака,
w – произведение значения варьирующего признака на его веса (xf)
В том случае, если общие объемы явлений, т.е. произведения значений признаков на их веса равны, то применяется средняя гармоническая простая:
х – отдельные значения признака (варианты),
n – общее число вариант.
Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Средняя геометрическая и средняя хронологическая.
Средняя геометрическая
Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:
Это формула средней геометрической.
Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.
Средняя хронологическая — средняя, рассчитанная из значений, изменяющихся во времени. Используется для расчета среднего уровня моментного ряда. В том случае, если имеющиеся данные относятся к фиксированным моментам времени c равными интервалами, то используется следующая формула:
Х – значение уровней ряда,
n – число имеющихся показателей.
Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими датами определяется по формуле средней хронологической взвешенной:
= 
Где уровни рядов динамики
— длительность интервала времени между уровнями
Средняя квадратическая. Взаимосвязь степенных средних величин.
Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая . Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.
Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число.
Средняя квадратическая взвешенная равна:
Понятие моды. Расчет моды для дискретного и интервального рядов распределения.
Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.
Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.
Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.
Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).
В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.
где хо – нижняя граница модального интервала;
h – величина модального интервала;
fm – частота модального интервала;
fт-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.
Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определе
нной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).
Средняя гармоническая — ϶ᴛᴏ величина, обратная средней арифметической, ᴛ.ᴇ. состоит из обратных значений признака.
Пример 5. Расчет среднего процента выполнения плана. Имеются следующие данные:
В примере в качестве варьирующего признака выступают показатели степени выполнения плана (варианты), а план принимает за веса (частоты). При этом средняя получается как средняя арифметическая взвешенная:
В случае если при определении средней степени выполнения плана за веса принимать не задание, а фактическое его выполнение, то средняя арифметическая в данном случае даст неправильный результат:
Правильный результат при взвешивании по фактическому выполнению задания даст средняя гармоническая взвешенная:
где w — веса средней гармонической взвешенной.
Условия применения средней гармонической
Среднюю гармоническую используют, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности (носители признака), а произведения этих единиц на значения признака, ᴛ.ᴇ. 
.
Из этого правила следует, что средняя гармоническая в статистике по существу есть преобразованная средняя арифметическая, которая применяется когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объёмам признака.
2. В случае если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякое промежуточное действие при расчете средней должно давать экономически значимые результаты.
К примеру, при расчете среднего процента выполнения плана показатель выполнения плана умножаем на плановое задание и получаем фактическое выполнение плана. В случае если же показатель выполнения плана умножить на фактическое его выполнение, то с экономической точки зрения результат получится абсурдный. Значит, форма средней применена неверно).
Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, т.е. частоту необходимо отдельно вычислить на основании известных вариант Х и произведения Х f , применяется средняя гармоническая. Средняя… [читать подробнее].
Средняя гармоническая является первообразной формой средней арифметической. Она рассчитывается в тех случаях, когда веса fi не заданы непосредственно, а входят как сомножитель в один из имеющихся показателей. Также как и арифметическая, средняя гармоническая может быть… [читать подробнее].
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Характеристиками вариационных рядов, наряду со… [читать подробнее].
Средняя арифметическая взвешенная Применяется в том случае, когда в качестве весов используются показатели количества товаров в натуральном выражении; где pq - товарооборот в рублях. Применяется в том случае, когда в качестве весов используются данные о продаже…
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Таким образом, формула для расчета средней… [читать подробнее].
Сущность и значение средних величин, их виды Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина. Показатель в форме средней величины выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних… [читать подробнее].
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. … [читать подробнее].
При решении задач расчет средней величины начинается с составления исходного отношения – логической словесной формулы средней. Она составляется на основе теоретического и логического анализа. Иногда среднюю арифметическую нельзя использовать. В этом случае в… [читать подробнее].
Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Формула гармонической средней величины такова: Например, автомобиль с… [читать подробнее].
Средним гармоническим положительных чисел о, b называется число, обратное к которому является средним арифметическим между , т.е. число
Задача 358. Доказать, что среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического.
Обратная к среднему гармоническому величина есть среднее арифметическое чисел обратная к среднему геометрическому величина есть среднее геометрическое чисел так что остается сослаться на неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.
Задача 359. Числа положительны. Доказать, что
Решение. Искомое неравенство можно переписать в виде
т. е. надо доказать, что среднее арифметическое чисел больше или равно их среднего гармонического. Это становится ясным, если вставить между ними среднее геометрическое:
последнее неравенство сводится к неравенству о среднем арифметическом и геометрическом чисел .
Другое решение использует следующий трюк. Будем доказывать более общее неравенство (называемое неравенством Коши-Буняковского)
(если подставить в него получим требуемое).
Чтобы доказать неравенство Коши-Буняковского, рассмотрим квадратичный трехчлен
Раскрыв в нем скобки и сгруппировав члены по степеням х, получим трехчлен
При любых x этот трехчлен неотрицателен - ведь он есть сумма квадратов. Значит, его дискриминант не больше нуля, т.е.
Как Вам понравился этот трюк?
Пример : Требуется определить средний возраст студента заочной формы обучения по данным, заданным в следующей таблице:
|
Возраст студентов, лет (х ) |
Число студентов, чел (f ) |
среднее значение интервала (x’,xцентральн ) |
xi *f i |
|
26 и старше |
|||
|
Итого: |
Для вычисления средней в интервальных рядах сначала определяют среднее значение интервала как полу-сумму верхней и нижней границы, а затем рассчитывается средняя величина по формуле средне арифметическая взвешенная.
Выше дан пример с равными интервалами, причем 1-й и последний являются открытыми.
.
Ответ: средний возраст студента составляет 22,6 года или примерно 23 года.
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным значениям признака, а представлена произведением значения признака на частоту . Средняя гармоническая как вид степенной средней выглядит следующим образом:
В зависимости от формы представления исходных данных средняя гармоническая может быть рассчитана как простая и как взвешенная. Если исходные данные несгруппированны, то применяется средняя гармоническая простая :
К ней прибегают в случаях определения, например, средних затрат труда, материалов и т. д.
на единицу продукции по нескольким предприятиям.
При работе со сгруппированными данными используется средняя гармоническая взвешенная :
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда общий объем усредняемого признака является мультипликативной величиной ,т.е. определяется не суммированием, а умножением индивидуальныхзначений признака .
Форма средней геометрической взвешенной в практических расчётах не применяется .
Средняя квадратическая используется в тех случаях, когда при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин .
Главная сфера её использования – измерение степени колеблемости индивидуальных значений признака относительно средней арифметической (среднее квадратическое отклонение). Кроме этого, средняя квадратическаяприменяется в тех случаях, когда необходимо вычислить средний величинупризнака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения(при вычислении средней величины квадратных участков, средних диаметровтруб, стволов и т. д.).
Средняя квадратическая рассчитывается в двух формах:
Все степенные средние различаются между собой значениями показателя степени. При этом, чем выше показатель степени, тем больше количественное значение среднего показателя :
Это свойство степенных средних называется свойством мажорантности средних .
При условии подстановки в общую формулу (6.1) значения к= –1 можно получить среднюю гармоническую величину , которая имеет простую и взвешенную формы.
Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая простая величина, которую можно записать следующим образом.
где n – общая численность вариант; – обратное значение варианты.
Допустим, имеются данные о том, что при перевозке картофеля скорость движения автомобиля с грузом составляет 30 км/ч, без груза – 60 км/ч. Необходимо найти среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется совсем несложное решение задачи: применить способ средней арифметической простой величины, т.е. 
Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденному пути, разделённому на затраченное время, то совершенно очевидно, что результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение одного и того же пути автомобилем с грузом и без груза (туда и обратно) затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза может быть рассчитана по средней гармонической простой величине:
Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза составляет не 45, а 40 км/ч.
В дискретных или интервальных рядах используется средняя гармоническая взвешенная величина:
где W – произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, xf).
Рассмотрим пример. Трудоемкость производства 1т картофеля в первом подразделении сельскохозяйственной организации составляет 10 чел.-ч., во втором – 30 чел.-ч. В обоих подразделениях на производство картофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. Необходимо рассчитать среднюю арифметическую трудоёмкость картофеля в сельскохозяйственной организации. Кажется, что среднюю трудоёмкость легко найти как полусумму трудоёмкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней арифметической простой величины:
Однако, при таком решении совершаются две ошибки. Первая, принципиальная ошибка заключается в том, что при расчёте средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой трудоемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс.
чел.-ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и, таким образом, найти среднюю арифметическую взвешенную трудоемкость, что будет успешно заменено путем применения средней гармонической взвешенной величины:
Таким образом, средняя трудоёмкость картофеля в сельхозорганизации составляет не 20, как это было рассчитано выше, а 15 чел. ч/т.
Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.
Структурные средние
В некоторых случаях для получения обобщающей характеристики статистической совокупности по какому-либо признаку приходится пользоваться так называемыми структурным средними . К ним относят моду и медиану .
Мода представляет собой варианту, наиболее часто встречающуюся в данной статистической совокупности. В ранжированном ряду мода как правило, не определяется, так как каждой варианте соответствует частота, равная единице.
Мода в дискретном ряду соответствует варианте с наибольшей частотой, при этом случайная величина может иметь несколько мод. При наличии одной из них распределение статистической совокупности принято называть одномодальным , при наличии двух мод – бимодальным, трех и более мод – мультимодальным. Наличие нескольких мод нередко означает объединение в одной совокупности разнокачественных статистических единиц.
Мода для интервального ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле
(6.12)
где х мо sub> – нижняя граница модального интервала; i мо – величина интервала;
f мо – частота модального интервала; f дмо – частота домодального интервала; f змо – частота замодального интервала.
Допустим, рыночные цены на яблоки по районным центрам области сложились следующим образом (табл. 6.8). По этим данным необходимо рассчитать моду рыночных цен на картофель.
Т а б л и ц а 6.8. Рыночные цены на яблоки
Из данных табл. 6.8 видно, что максимальное число рынков сосредоточено в третьем интервале, причем распределение статистической совокупности унимодальное. Для расчёта моды рыночных цен на яблоки воспользуемся формулой (6.12):
Таким образом, модальная рыночная цена на яблоки в районных центрах области составляет 1690 р/кг.
Модальная варианта при характеристике статистической совокупности может быть использована в тех случаях, когда расчёт средней величины затруднен либо невозможен, например, в рыночных условиях при изучении спроса и предложения, уровня цен и т.д.
Медиана – варианта, находящиеся в середине вариационного ряда. Медиана в ранжированном ряду находится следующим образом. Во-первых, рассчитывают номер медианой варианты:
где n ме – номер медианой варианты; n – общее число вариант в ряду.
Во-вторых, в ранжированном ряду определяется значение медианой варианты: если общее число вариант нечетное, то медиана соответствует рассчитанному по формуле (6.13) номеру.
Допустим, ранжированный ряд состоит из 99 единиц, распределенных по урожайности сахарной свеклы. Медианный номер варианты находим по формуле (6.13): 
.
Это означает, что под № 50 находится искомая медиана урожайности, которая равна, например, 500ц/га.
Если же общее число вариант четное, то медиана равна полумсуме двух смежных медианных вариант. Например, в ранжированном ряду имеется 100 статистических единиц, распределенных опять-таки по урожайности сахарной свеклы. Следовательно, в таком ряду имеется два медианных номера, что видно из следующего расчета по формуле (6.13):
Значит, в этом случае медианными считаются № 50 и 51, а медиану урожайности сахарной свеклы, например, можно рассчитать как следующую полусумму двух смежных урожайностей, т.е.
Для дискретного ряда распределения медиану рассчитывают по накопленным частотам: во-первых, находят полусумму накопленных частот; во-вторых, определяют соответствие этой полусуммы конкретной варианте, которая и будет медианой.
Например, годовой удой коров распределен в виде дискретного ряда, в котором сумма накопленных частот составляет 200 единиц и, соответственно, полусумма – 100 единиц.
Этот медианный номер находится в группе статистических единиц дискретного ряда и соответствует годовому удою коров 5000 кг молока, что и является медианой дискретного ряда.
В интервальном вариационном ряду медиану рассчитывают по формуле
, (6.14)
где М е – медиана интервального ряда; х ме – нижняя граница медианного интервала; i ме – величина медианного интервала; Σf – сумма накопленных частот в интервальном ряду; f н – накопленная частота домедианного интервала; f ме – частота медианного интервала.
Для расчёта медианы в интервальном ряду воспользуемся следующими данными (табл.6.9).
Т а б л и ц а 6.9.
Урожайность картофеля в личных подсобных
Хозяйствах населения
Из данных табл. 6.9 прежде всего видно, что медианным является четвертый интервал. Кроме того, несложный подсчёт показывает, что сумма накопленных частот (общее число хозяйств) составляет 200 единиц, а накопленная частота домедианного интервала – 90 единиц.
Воспользуемся формулой (6.14) и рассчитаем медианную урожайность картофеля:
Таким образом, медианная урожайность картофеля в личных подсобных хозяйствах населения составляет 256 ц/га.
Применение медианы имеет специфический характер. Так, если вариационный ряд относительно небольшой, то на величину средней арифметической могут оказать влияние случайные колебания крайних вариант, что никак не скажется на размере медианы.
Предыдущая45678910111213141516171819Следующая
Средняя гармоническая
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Средняя гармоническая |
| Рубрика (тематическая категория) | Культура |
Средняя гармоническая - ϶ᴛᴏ величина, обратная средней арифметической, ᴛ.ᴇ. состоит из обратных значений признака.
Пример 5. Расчет среднего процента выполнения плана. Имеются следующие данные:
В примере в качестве варьирующего признака выступают показатели степени выполнения плана (варианты), а план принимает за веса (частоты). При этом средняя получается как средняя арифметическая взвешенная:
В случае если при определении средней степени выполнения плана за веса принимать не задание, а фактическое его выполнение, то средняя арифметическая в данном случае даст неправильный результат:
Правильный результат при взвешивании по фактическому выполнению задания даст средняя гармоническая взвешенная:
где w - веса средней гармонической взвешенной.
Условия применения средней гармонической
1. Среднюю гармоническую используют, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности (носители признака), а произведения этих единиц на значения признака, ᴛ.ᴇ. 
.
Из этого правила следует, что средняя гармоническая в статистике по существу есть преобразованная средняя арифметическая, которая применяется когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объёмам признака.
2. В случае если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякое промежуточное действие при расчете средней должно давать экономически значимые результаты.
К примеру, при расчете среднего процента выполнения плана показатель выполнения плана умножаем на плановое задание и получаем фактическое выполнение плана. В случае если же показатель выполнения плана умножить на фактическое его выполнение, то с экономической точки зрения результат получится абсурдный. Значит, форма средней применена неверно).
Средняя гармоническая - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Средняя гармоническая" 2017, 2018.
Средняя гармоническая является первообразной формой средней арифметической. Она рассчитывается в тех случаях, когда веса fi не заданы непосредственно, а входят как сомножитель в один из имеющихся показателей. Также как и арифметическая, средняя гармоническая может быть... .
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Характеристиками вариационных рядов, наряду со... .
Средняя арифметическая взвешенная Применяется в том случае, когда в качестве весов используются показатели количества товаров в натуральном выражении; где pq - товарооборот в рублях. Применяется в том случае, когда в качестве весов используются данные о продаже... .
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Таким образом, формула для расчета средней... .
Сущность и значение средних величин, их виды Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина. Показатель в форме средней величины выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних...
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние
Степенные средние:
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая
Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего - это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:
Простая средняя арифметическая - Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности
Средняя арифметическая взвешенная
Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.
Представим это в виде следующей формулы:
Взвешенная средняя арифметическая - равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.
При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.
При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):
Средняя гармоническая - используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака и произведение, ачастоты неизвестны.
В примере ниже - урожайность известна,- площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность),- валовый сбор зерна известен.
Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:
В тех случаях, когда произведение одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:
Средняя гармоническая простая - показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.
Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:
Среднегеометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей.
