После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Определение 1
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.
Рассмотрим еще определения.
Определение 2
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.
Определение 3
Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .
Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.
Определение 4
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Определение 5
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Определение 6
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Определение 7
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Определение 8
Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Пример 1
Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .
Решение
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.
Ответ : 6 .
Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.
Навигация по странице.
В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.
Определение.
Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.
Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.
Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.
Определение.
Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.
Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.
Определение.
Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.
Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.
В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом
a·x+b
, где a
и b
– некоторые числа, а x
– переменная, а также с квадратным трехчленом
a·x 2 +b·x+c
, где a
, b
и c
– некоторые числа, а x
– переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1
, x·7,2−4
, а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5
и 
.
Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.
Определение.
Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.
В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .
Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.
Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1
и 
записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z
и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z
не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2
и −x 2
, а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2
, вид которого отличен от стандартного.
Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .
К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.
Определение.
Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.
Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.
Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.
Определение.
Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.
Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .
Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.
Определение.
Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.
Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .
Решение.
Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 =
=(3·a 12 −2·a 12 −a 12)−
2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 =
=−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2
.
В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .
Список литературы.
Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль - это нулевой многочлен.
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
Ещё пример:
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
Что такое степень многочлена?
Степень многочлена определение:
Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.
Или, строго, - конечная формальная сумма вида
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle \sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} , гдеВ частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m {\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}} , гдеС помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение » и «алгебраическая функция ».
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».
С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе .
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии , объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.
Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.
Пусть A {\displaystyle A} есть алгебра над кольцом R {\displaystyle R} . Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle p(x)\in R} определяет полиномиальную функцию
p R: A → A {\displaystyle p_{R}:A\to A} .Чаще всего рассматривают случай A = R {\displaystyle A=R} .
В случае, если R {\displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f p: R n → R {\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R} полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p 1 (x) ≡ x {\displaystyle p_{1}(x)\equiv x} и p 2 (x) ≡ x 2 {\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}} из Z 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} .
Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией .
Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел . Например, верна теорема: если произведение многочленов p q {\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на λ {\displaystyle \lambda } . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x {\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 {\displaystyle n>2} существуют многочлены от n {\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
Согласно определению, многочлен это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.
Для примера: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлены, а выражение z/(x - x*y^2 + 4) не является многочленом потому, что оно не является суммой одночленов. Многочлен еще иногда называют полиномом, а одночлены которые входят в состав многочлена членами многочлена или мономами.
Если многочлен состоит из двух слагаемых, то его называют двучлен, если из трех - трехчлен. Названия четырехчлен, пятичлен и другие не используются, а в таких случаях говорят просто, многочлен. Такие названия, в зависимости от количества слагаемых, ставят все на свои места.
И термин одночлен становится интуитивно понятным. С точки зрения математики, одночлен является частным случаем многочлена. Одночлен это многочлен, который состоит из одного слагаемого.
Так же как и у одночлена, у многочлена есть свой стандартный вид. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него в качестве слагаемых одночлены, записаны в стандартном виде и приведены подобные члены.
Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить. Сложение подобных членов многочлена называют приведением подобных.
Например, приведем подобные слагаемые в многочлене 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Подобными здесь являются слагаемые 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3. Суммой этих слагаемых будет одночлен 10*a*b^2*c^3. Следовательно, исходный многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можно переписать в виде 10*a*b^2*c^3 - a*b. Эта запись и будет стандартным видом многочлена.
Из того, что любой одночлен можно привести к стандартному виду, следует также и тот факт, что любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Когда многочлен приведен к стандартному виду, можно говорить о таком понятии как степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен.
Так, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен (5*x^3*y^2) пятая.
