Когда смотрим на красивый пейзаж, мы охватываемых все вокруг. Потом уделяем внимание деталям. Речке журчащей или дереву величественному. Видим поле зеленое. Замечаем, как ветер его обнимает нежно и журя шатает со стороны в сторону траву. Можем почувствовать аромат природы и услышать пение птиц…Все гармонично, все взаимосвязано и даёт чувство умиротворения, чувство прекрасного. Восприятие идёт поэтапно чуть меньшими долями.Куда вы сядете на скамье: на край, на середину или в любое место? Большинство ответит, что чуть дальше от середины. Приблизительное число в пропорции скамьи от вашего тела до края будет 1,62. Так и в кинотеатре, в библиотеке,- везде. Инстинктивно создаём гармонию красоту, которую во всем мире называю “Золотым сечением”.
Вы задумывались, можно ли определить меру красоте? Оказывается, с математической точки зрения возможно. Простая арифметика даёт понятие об абсолютной гармонии, которая и отображается в безупречной красоте, благодаря принципу Золотого сечения. Архитектурные сооружения др. Египта и Вавилона первыми начали соответствовать данному принципу. Но сформулировал принцип первым Пифагор. В математике это деление отрезка чуть больше половины, а точнее 1,628. Данное соотношение представляется как φ =0,618= 5/8. Маленький отрезок = 0,382 = 3/8, а полностью отрезок принимаем за единицу.
А:B=B:C и C:B=B:A
От принципа золотого сечения отталкивались и великие писатели, архитекторы, скульпторы, музыканты, – люди искусства, и христиане, рисующие пиктограммы (пятиконечные звезды и т.д.) с его элементами в храмах, спасаясь от нечисти, и люди, изучающие точные науки, решающая проблемы кибернетики.
Все на земле приобретая форму растет вверх, в сторону или по спирали. Последнему пристально уделил внимание Архимед, составив уравнение. По ряду Фибоначчи устроена шишка, ракушка, ананас, подсолнух, ураган, паутина, молекула ДНК, яйцо, стрекоза, ящерица…
Тицириус доказал, что вся наша Вселенная, космос, галактическое пространство, – все спланировано исходя из Золотого принципа. Абсолютно во всем живом и не живом можно прочесть высшую красоту.
Кости
продуманы
природой
тоже
согласно
пропорции
5
/8
. Это
и
исключает
оговорки
людей
про
“кости
широкие
“. Большинство
частей
тела
в
соотношениях
применяются
к
уравнению
. Если
все
частички
тела
подчиняются
Золотой
формуле
, тогда
внешние
данные
будут
весьма
привлекательны
и
идеально
сложены
.
Отрезок
от
плеч
до
верха
головы
и
ее
размера
= 1
:1
.618
Отрезок
от
пупа
до
верха
головы
и
от
плеч
до
верха
головы
= 1
:1
.618
Отрезок
от
пупа
до
коленок
и
от
них
до
ступней
ног
= 1
:1
.618
Отрезок
от
подбородка
до
крайней
точки
верхней
губы
и
от
неё
до
носа
= 1
:1
.618
Все
расстояния
лица
дают
общее
представление
об
идеальных
пропорциях
, привлекающих
взгляд
.
Пальцы
, ладонь
, тоже
подчиняются
закону
. Необходимо
ещё
отметить
, что
отрезок
расставленных
рук
с
туловищем
равен
росту
человека
. Да
что
там
, все
органы
, кровь
, молекулы
, соответствуют
Золотой
формуле
. Истинная
гармония
внутри
и
снаружи
нашего
пространства
.
Громкость звука. Высшая точка звука, вызывающая не комфортное ощущение и боль в ушной раковине = 130 децибелам. Это число можно разделить пропорцией 1,618, тогда выходит, что звук человеческого крика будет = 80 децибел.
Тем же методом двигаясь дальше получаем 50 децибел, что характерно для нормальной громкости речи человека. И последний звук, который получим благодаря формуле – приятный звук шепота = 2,618.
По данному принципу можно определить оптимально-комфортное, минимальное и максимальное число температуры, давления, влажности. Простая арифметика гармонии заложена во всем нашем окружении.
В архитектуре самые известные здания и сооружения: египетские пирамиды, пирамиды Майя в Мексике, Нотр-дам де Пари, Парфенон греческий, Петровский дворец, и другие.
В музыке: Аренский, Бетховен, Гаван, Моцарт, Шопен, Шуберт, и другие.
В живописи: почти все картины знаменитых художников написаны согласно сечению: разносторонний Леонардо да Винчи и неподражаемый Микеланджело, такие родные в писании Шишкин с Суриковым, идеал чистейшего художества – испанец Рафаэль, и подаривший идеал женской красоты – итальянец Боттичелли, и многие-многие другие.
В поэзии: упорядоченная речь Александра Сергеевича Пушкина, в особенности “Евгений Онегин” и стихотворение “Сапожник”, поэзия замечательных Шота Руставели и Лермонтова, и многих других великих мастеров слова.
В скульптуре: статуя Аполлона Бельведерского, Зевса Олимпийского, прекрасной Афины и грациозной Нефертити, и другие скульптуры и статуи.
В фотографии используется “правило третьей”. Принцип такой: композиция делится на 3 равные части по вертикали и по горизонтали, ключевые моменты располагаются либо на линиях пересечения (горизонт), либо в точках пересечений (объекте). Таким образом пропорции равны 3/8 и 5/8.
В согласно Золотого сечения имеется много уловок, которые стоит разобрать детально. Их опишу подробно в следующей .
Идеальная фигура - какая она? На этот вопрос сложно ответить, поскольку определение данного понятия постоянно меняется в зависимости от пристрастий и эпохи. Однако наиглавнейшим показателем успеха, привлекательности и очарования во все времена была и остается пропорциональность.
У любого поколения, народа, человека может быть собственное мнение о том, каковы идеальные пропорции тела мужчины и женщины. В палеолитические времена, как известно, красивой считалась женская фигура с более чем гипертрофированными формами - об этом свидетельствуют археологические находки.
Идеальные пропорции женского тела в период античности предполагали маленькую грудь, стройные ноги, широкие бедра. Для Средневековья канонами красоты были невыраженные талия и бедра, но при этом округлый живот. На пике моды в эпоху Ренессанса были пышные формы. И так продолжалось до эпохи классицизма.
Только двадцатое столетие внесло изменения в представление о том, какими должны быть идеальные пропорции тела человека. Теперь модно, чтобы девушка имела плоский живот и стройные ноги, а мужчина - мускулистую фигуру.
Систему идеальных пропорций еще в пятом столетии до нашей эры разработал древнегреческий скульптор Поликлет. Ваятель поставил цель с точностью определить пропорции тела мужчины в соответствии со своими представлениям об идеале.
Результаты его вычислений таковы: голова должна составлять 1/7 часть всего роста, кисть руки и лицо - 1/10 часть, ступня - 1/6 часть.
Однако современникам Поликлета такие фигуры казались чересчур массивными, "квадратными". Эти каноны, тем не менее, стали нормой для античности, а также для художников эпохи Возрождения и классицизма (с некоторыми изменениями). На практике разработанные идеальные пропорции тела человека Поликлет воплотил в статуе "Копьеносец". Скульптура юноши олицетворяет уверенность, уравновешенность частей тела демонстрирует могущество физической силы.
Великий итальянский художник и скульптор в 1490 г. создал знаменитый рисунок под названием «Витрувианский человек». Он изображает фигуру мужчины в двух позициях, которые наложены одна на другую:
Согласно логике да Винчи лишь идеальные пропорции человеческого тела позволяют вписать фигуры в указанных позициях в круг и квадрат.
Воплощенные в рисунке да Винчи идеальные пропорции тела взял за основу для своей теории пропорционирования другой римский ученый и архитектор Марк Витрувий Поллион. Позже теория стала распространенной в архитектуре и изобразительном искусстве. Согласно ей для идеально пропорционального тела характерны такие соотношения:
Теория пропорционирования Витрувия возникла намного позже теории золотого сечения. Считается, что объекты, которые содержат в себе золотое сечение, являются наиболее гармоничными. Египетская пирамида Хеопса, Парфенон в Афинах, собор Парижской Богоматери, картины Леонардо да Винчи «Тайная вечеря», «Мона Лиза», работа Боттичелли «Венера», полотно Рафаэля «Афинская школа» были созданы по этому принципу.
Понятие о золотом сечении впервые дал древнегреческий философ Пифагор. Эти знания он, возможно, позаимствовал у вавилонян и египтян. Затем данное понятие употребляется в евклидовых «Началах».
Непосредственно термин золотого сечения в обиход ввел Леонардо да Винчи. После него этот принцип многие художники осознанно применяли в своих картинах.
С математической точки зрения золотое сечение заключается в пропорциональном делении отрезка на неравные части, при этом к большей части весь отрезок относится так, как сама большая часть - к меньшей, то есть меньший отрезок к большему относится так, как больший - ко всему.
Если целое обозначить как С, большую часть - А, а меньшую - В, правило золотого сечения будет иметь вид соотношения С: А = А: В. Основные геометрические фигуры базируются именно на этой идеальной пропорции.
Рассматриваемое правило впоследствии превратилось в академический канон. Оно применяется в генных структурах организмов, строении химических соединений, космических и планетарных системах. Такие закономерности есть в строении тела человека в целом и отдельных органов в частности, а также в биоритмах и функционировании зрительного восприятия и головного мозга.
В 1855 г. немецкий профессор Цейзинг выпустил свой труд, в котором на основании полученных результатов измерения около двух тысяч тел сделал вывод о том, что деление фигуры точкой пупа является важнейшим показателем золотого сечения. Идеальные пропорции тела мужчины колеблются в границах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и подходят ближе к золотому сечению, нежели пропорции фигуры женщины, где среднее значение выражается в соотношении 8: 5 = 1,6.
Такие показатели вычисляются и для других частей тела: плеча и предплечья, пальцев и кисти и так далее.
В обществе идеальные пропорции человеческого тела пересматриваются примерно каждые пятнадцать лет. За этот период времени за счет акселерации представления о красоте подвергаются значительным изменениям.
Поэтому идеальные пропорции женского тела - это вовсе не пресловутые 90-60-90. Такие показатели подходят не для всех. Ведь каждая девушка имеет собственный тип телосложения , который передается по наследству.
В нашей стране сейчас многие принимают за идеал нормативы телосложения, составленные доктором А. К. Анохиным еще в конце девятнадцатого столетия. Согласно им, пропорции женского тела идеальны, если на 1 см роста женщины приходится:
Свой рост (в сантиметрах) умножьте на цифры, приведенные выше. Затем сделайте соответствующие измерения частей тела. По результатам станет понятно, насколько вы соответствуете нормативам.
Множество разновидностей имеет современное представление об идеале мужской фигуры. На самом деле идеальные пропорции тела одновременно для всех мужчин назвать нельзя. Есть субъективные мнения, а есть реальность, которая создана статистикой и наукой. И объективные данные свидетельствуют, что идеальное телосложение мужчины оставалось неизменным на протяжении тысячелетий. С женской точки зрения наиболее привлекательным считается V-образный торс, который обеспечивал своему обладателю во все века успех в обществе.
В настоящее время рассчитать идеальные пропорции тела можно разными способами: с помощью формулы Маккаллума, метода Брока или коэффициента Уилкса. Маккаллум, например, говорит о необходимости иметь одинаковую длину туловища и ног. А размер грудной клетки, по его мнению, должен превышать размер таза (приблизительно 10 к 9). Грудь и талия должны соотноситься в пропорциях 4 к 3, а руки, разведенные в стороны, должны составлять рост мужчины. Эти же параметры в своё время закладывались в феномен «Витрувианского человека».
Для мужчины идеальным ростом считаются 180-185 сантиметров. Вес в качестве эталона вряд ли стоит приводить, важнее его увязать с пропорциями тела и ростом. Ведь даже при оптимальном весе рыхлая фигура не принесет успеха её обладателю.
Золотое сечение – это деление отрезка на неравные части, при этом весь отрезок (A) относится к большей части (B), как эта большая часть (B) относится к меньшей части (C), или A: B = B: C , или C: B = B: A .
Отрезки золотой пропорции соотносятся друг с другом через бесконечное иррациональное число Ф = 0,618... Если C принять за единицу, то A = 0,382. Числа 0,618 и 0,382 - это коэффициенты последовательности Фибоначчи, на которой построены основные геометрические фигуры.
Кости человека выдержаны в пропорции, близкой к золотому сечению. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальной выглядит внешность человека.
Если расстояние между ступнями человека и точкой пупа = 1, то рост человека = 1.618.
Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618.
Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618.
Расстояние от точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618.
Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618.
Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618.
Прочие пропорциональные соотношения:
Высота лица / ширина лица; центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа; высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ; ширина рта / ширина носа; ширина носа / расстояние между ноздрями; расстояние между зрачками / расстояние между бровями.
Точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
Формула золотого сечения видна при взгляде на указательный палец. Каждый палец руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = золотое сечение (за исключением большого пальца). Соотношение средний палец / мизинец = золотое сечение.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения (цифры 2, 3, 5 и 8 - числа последовательности Фибоначчи).
Уже в средние века меры частей человеческого тела использовались в качестве стандартов. При постройке соборов во Франции использовался прибор, состоящий из 5 стрежней, которые представляли собой длины ладони, большой и малой пяди, ступни и локтя. Все эти длины были кратны меньшей единице длины, которая называлась линией
и была равна 1/12 дюйма, т.е. около 2,5 мм. Если перевести эти цифры в метрическую систему, то можно увидеть, что количества линий
являются числами из ряда Фибоначчи. Отношение каждого к предыдущему равно Ф, что ещё более удивительно, ведь эти единицы соответствуют произвольным частям человеческого тела.
Тело человека и золотое сечение.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:
M/m=1,618
Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;
* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:
Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.
В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.
На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:
* Высота лица / ширина лица;
* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;
* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;
* Ширина рта / ширина носа;
* Ширина носа / расстояние между ноздрями;
* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.
Рука человека.
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
* Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца);
* Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения;
* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:
Золотая пропорция в строении легких человека.
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.
* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.
Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали.
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.
Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).
Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.
Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:
"Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее."
ВВЕДЕНИЕ
Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. Можно ли выразить красоту человека с помощью формул и уравнений? Математика дает утвердительный ответ. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Золотое сечение является мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства на протяжении многих веков. Его изучением занимались люди античности и эпохи Возрождения. В Х I Х и ХХ веке интерес к золотому сечению возродился с новой силой.
Соответствуют ли современные люди тем идеальным пропорциям строения человеческого тела, которые дошли до нас с античных времен? На этот вопрос мы постараемся ответить в исследовательской работе «Золотое сечение в пропорциях тела человека».
Цель работы : изучение золотого сечения, как идеальной пропорции строения человеческого тела.
Задачи:
изучить литературу по теме исследовательской работы;
дать определение золотому сечению, познакомиться с его построением, применением и историей;
узнать математические закономерности в пропорциях тела человека;
научиться находить золотое сечение в пропорциях людей;
определить соответствие пропорций человеческого тела золотому сечению.
Гипотеза : пропорции каждого человеческого тела соответствуют золотому сечению.
Объект исследования: человек.
Предмет исследования : золотое сечение в пропорциях человеческого тела.
Методы исследования : измерение роста и частей тела человека, обработка полученных результатов математическими методами с помощью программы Microsoft Office Excel 2007, сравнительный анализ полученных измерений со значением золотого сечения.
Глава 1 Золотое сечение
Понятие золотого сечения
Пифагор показал, что отрезок единичной длины АВ (рисунок 1.1). можно разделить на две части так, что отношение большей части (АС=х) к меньшей (СВ=1-х) будет равняться отношению всего отрезка (АВ=1) к большей части(АС=х):
Рисунок 1.1 – Деление отрезка в крайнем и среднем отношении
По свойству пропорции.. х 2 =1-х,
х 2 +х-1=0. (1)
Положительным корнем этого уравнения является, так что отношения в приведенной пропорции равны: =≈1,61803 каждое.
Такое деление (точкой С) Пифагор называл золотым делением , или золотой пропорцией , Евклид – делением в крайнем и среднем отношении , а Леонардо да Винчи – общепринятым сейчас термином «золотое сечение» .
Золо тое сечение - это такое пропорционально е деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Величину золотого сечения принято обозначать буквой Ф. Это сделано в честь Фидия- творца бессмертных скульптурных произведений.
Ф=1,618033988749894. Это значение золотого сечения с 15 знаками после запятой. Более точное значение Ф можно увидеть в Приложении А.
Так как решение уравнения (1) является отношением между длинами частей отрезка, оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины.
1.2 Построение и применение золотого сечения
Рассмотрим геометрическое построение золотого сечения (рисунок 1.2) с помощью прямоугольного треугольника АСВ, в котором стороны АВ и АС имеют следующие длины: АВ = 1, АС = 1/2. Проведем из центра окружности С дугу через точку А до пересечения с отрезком СВ, получим точку D . Затем проведем через точку D дугу с центром окружности В до пересечения с отрезком АВ. Получили искомую точку Е, делящую отрезок АВ в золотой пропорции.
Рисунок 1.2 – Геометрическое построение золотого сечения
Еще Пифагор и пифагорейцы использовали золотое сечение для построения некоторых правильных многогранников - тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.
Евклид в III в. до н. э. использует вслед за пифагорейцами золотую пропорцию в своих «Началах» для построения правильных (золотых) пятиугольников, диагонали которых образуют пентаграмму.
В пентаграмме на рисунке 1.3 точки пересечения диагоналей делят их в золотом сечении, т. е. АВ/СВ = CB / DB = DB / CD .
Рисунок 1.3 - Пентаграмма
Арифметически отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АС=0,618…, СВ=0,382…. В практике применяется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей (рисунок 1.4), то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Этот способ построения золотого сечения используют художники. Если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший – 38 частям. Эти три величины позволяют нам построить ряд отрезков золотой пропорции. 100, 62, 38, 24, 14, 10 – это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически.
Рисунок 1.4 - Линии золотого сечения и диагонали на картине
Пропорции золотого сечения часто использовались художниками не только при проведении линии горизонта, но и в соотношениях между другими элементами картины.
Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер находил золотое сечение в пропорциях человеческого тела. Древнегреческий скульптор Фидий использовал его не только в своих статуях, но и при оформлении храма Парфенона. Страдивари использовал это соотношение при изготовлении своих знаменитых скрипок.
Форма, организованная при помощи пропорций золотого сечения, вызывает впечатление красоты, приятности, согласованности, соразмерности, гармоничности .
Учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, физике, химии, живописи, эстетике, биологии, музыке, технике.
1.3 История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Однако еще задолго до рождения Пифагора древние египтяне и вавилоняне использовали принципы золотого сечения в архитектуре и искусстве. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Платон (427…347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
Античные скульпторы и архитекторы широко использовали число 1,62 или близкие к нему числовые соотношения в своих художественных произведениях. Например, в фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.
В дошедшей до нас античной литературе золотая пропорция впервые упоминается в «Началах» Евклида (325…265 гг. до н.э.) во второй книге, а в шестой книге дается определение и построение деления отрезка в крайнем и среднем отношении.
В эпоху итальянского Возрождения возникает новая волна увлечения золотым сечением. Золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее " Sectio autea ", откуда и происходит сам термин "золотое сечение" или "золотое число". Лука Пачиоли в 1509 г. пишет первое сочинение о золотой пропорции, озаглавленное " De divina Proportioned ", что значит "О божественной пропорции". Иоганн Кеплер, первым упоминающий о значении этой пропорции в ботанике, говорит о ней, как о "бесценном сокровище, как об одном из двух сокровищ геометрии" и называет ее " Sectio divina " (божественное сечение). Нидерландский композитор Якоб Обрехт (1430-1505 гг.) широко использует золотое сечение в своих музыкальных композициях, которые уподобляют "кафедральному собору, созданному гениальным архитектором".
После эпохи Возрождения почти на два столетия золотое сечение было предано забвению. В середине XIX в. немецкий ученый Цейзинг делает попытку сформулировать всеобщий закон пропорциональности и при этом вновь открывает золотое сечение. В своих "Эстетических исследованиях" (1855) он показывает, что этот закон проявляется в пропорциях человеческого тела (рисунок 1.5) и в теле тех животных, формы которых отличаются изяществом. В теле античных статуй и хорошо сложенных людей пуп является точкой деления высоты тела в золотом сечении.
Рисунок 1.5 – Числовые отношения в человеческом теле (по Цейзингу)
Пропорциональные отношения, близкие к золотому сечению, Цейзинг находит в некоторых храмах (в частности, в Парфеноне), в конфигурациях минералов, растений, в звуковых аккордах музыки.
В конце XIX в. немецкий психолог Фехнер проводит ряд психологических опытов для выяснения эстетического впечатления от прямоугольников, имеющих различные отношения сторон. Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для золотого сечения.
В XX в. интерес к золотому сечению возрождается с новой силой. В первой половине века композитор Л.Сабанеев формулирует общий закон ритмического равновесия и при этом обосновывает золотое сечение в качестве некоторой нормы творчества, нормы эстетической конструкции музыкального произведения. О значении золотого сечения в природе и искусстве пишут Г. Е. Тимердинг, М. Гика, Г. Д. Гримм.
К "задаче о кроликах", с которой связано возникновение чисел Фибоначчи, в своих истоках восходит математическая теория биологических популяций. Закономерности, описываемые числами Фибоначчи и золотой пропорцией, обнаруживают во многих явлениях физического и биологического мира ("магические" ядра в физике, ритмы мозга и др.).
Советский математик Ю. В. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Академик Г.В.Церетели обнаруживает золотое сечение в поэме Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре". Возникают изящные методы решения задач теории поиска и теории программирования, основанные на числах Фибоначчи и золотой пропорции.
В последние десятилетия числа Фибоначчи и золотая пропорция неожиданно проявили себя в основании цифровой техники
Во второй половине XX века к числам Фибоначчи и золотому сечению обращаются представители практически всех наук и искусств (математики, физики, химии, ботаники, биологии, психологии, поэзии, архитектуры, живописи, музыки) , потому что золотое сечение – ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве.
Глава 2 Идеальные пропорции человеческого тела
Уже тысячелетия пытаются люди найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего человека хорошо сложенного, гармоничного.
Древние греки, считавшие золотое сечение проявлением гармонии в природе, создавали статуи людей с соблюдением правила золотого сечения. В XIX веке профессор Цейзинг подтвердил это, измерив сохранившиеся до наших дней древнегреческие статуи. Цейзинг даже выделил части тела человека, которые, по его мнению, наиболее точно соответствуют золотому сечению. Если разделить тело человека согласно правилу золотого сечения, то линия пройдет в области пупка. Длина плеча относится к общей длине руки также согласно золотому сечению. Соотношение частей лица, длины фаланг пальцев руки и многие другие части тела подпадают под правило золотого сечения (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Золотое сечение в строении тела человека
Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечает делению тела на две неравные части линией талии.
Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это отношение равно золотой пропорции.
Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а длины всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции.
Леонардо применил научные знания о пропорциях человеческого тела к теориям Пачоли и Витрувия о красоте. На рисунке Леонардо «Витрувианский человек» мужская фигура, вписанная в круг и квадрат (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – «Витрувианский человек» Леонардо да Винчи
Квадрат и круг имеют разные центры. Гениталии человека являются центром квадрата, а пупок – центром круга. Идеальные пропорции человеческого тела на таком изображении соответствуют отношению между стороной квадрата и радиусом круга: золотому сечению.
«Витрувианский человек» представляет собой приблизительные пропорции тела обычного взрослого человека, которые со времен Древней Греции использовались в качестве художественного канона для изображения человека. Пропорции сформулированы следующим образом:
Рост человека = размаху рук (расстоянию между кончиками пальцев разведенных в стороны рук) = 8 ладоням= 6 ступням= 8 лицам = 1,618 умноженному на высоту пупка (расстояние от пупка до земли).
Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя «Дорифор» («Копьеносец»), изваянная Поликтетом (рисунок 2.3).
Рисунок 2.3 – Статуя «Дорифор» греческого скульптора Поликтета
Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.
В середине XIX века немецкий ученый Цейзинг находил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Средняя пропорция мужского тела близка к 13/8= 1,625, а женского - к 8/5=1,60, у новорожденного пропорция равна 2, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской (рисунок 2.4).
Рисунок 2.4 – Сравнение пропорций головы и тела человека на различных этапах развития
Бельгийский математик Л.Кетле в XIX веке установил, что человек идеален только при подсчете среднего арифметического. В 1871г. его исследования пропорций тел жителей Европы полностью подтвердили идеальные пропорции.
Глава 3 Золотое сечение в пропорциях тела человека. Исследование
Мы проверяли гипотезу о том, что пропорции каждого человеческого тела соответствуют золотому сечению.
Для исследования были привлечены учащиеся 1-х, 5-х, 9-х и 11-х классов и учителя разного возраста(от 25 до 53 лет).
В теле человека пуп является точкой деления высоты тела в золотом сечении. Поэтому мы измеряли рост людей (a ), высоту пупка (b ) и расстояние от головы до пупка (c ). Затем в программе Microsoft Office Excel 2007 находили отношения этих величин (a / b , b / c ) для каждого человека в отдельности, c реднее значен ие для группы людей одного возраста (a / b ), сравнивали отношения с величиной золотого сечения (1,618) и выбирали людей с золотой пропорцией (приложение Б).
Результаты исследования мы представили в виде таблицы (таблица 3.1).
Таблица 3.1 – Соответствие пропорций человеческого тела золотому сечению у людей разного возраста.
КлассКоличество человек
Полученное среднеарифметическое
отношение
Количество людей с золотой пропорцией
1,701
1,652
1,640
1,622
Учителя
1,630
11 класс и учителя
1,626
Наглядно эти данные можно представить в виде диаграмм (приложения В и Г).
По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
Следовательно, золотое сечение в пропорциях тела человека - это среднестатистическая величина, к которой приближаются пропорции тела взрослого человека. Только у некоторых людей пропорции тела соответствуют золотому сечению.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Золотое сечение является мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства на протяжении многих веков. Учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, физике, химии, живописи, эстетике, биологии, музыке, технике.
Целью исследовательской работы было изучение золотого сечения, как идеальной пропорции строения человеческого тела.
Для достижения цели мы изучили литературу по теме исследовательской работы, познакомились с золотым сечением, с его построением, применением и историей; узнали математические закономерности в пропорциях тела человека; научились находить золотое сечение в пропорциях людей (приложение Д).
В практической части мы определяли соответствие пропорций человеческого тела золотому сечению, проверяли следующую гипотезу: пропорции каждого человеческого тела соответствуют золотому сечению.
Для проверки гипотезы мы измеряли рост людей и некоторые части тела у учащихся 1, 5, 9, 11 классов и учителей разного возраста.. Затем в программе Microsoft Office Excel 2007 находили отношения величин для каждого человека в отдельности, c реднее значен ие для группы людей одного возраста, сравнивали полученные отношения со значением золотого сечения и выбирали людей с золотой пропорцией.
На основании результатов проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
с возрастом у человека пропорции тела изменяются;
пропорции тела человека отличаются даже у людей одного возраста;
у взрослых людей пропорции тела приближаются к величине золотого сечения, но редко соответствует ему;
идеальные пропорции золотого сечения не применимы ко всем людям.
Следовательно, золотое сечение в пропорциях тела человека - это среднестатистическая величина, к которой приближаются пропорции тела взрослого человека. Только у некоторых людей пропорции тела соответствуют золотому сечению. Наша гипотеза подтвердилась частично.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Васютинский, Н.А. Золотая пропорция / Н.А.Васютинский – М.: Мол. гвардия, 1990. – 238 с.
Ковалев, Ф.В.Золотое сечение в живописи: учеб. пособие/ Ф.В. Ковалев. - К.:Выща школа. Головное изд-во, 1989.-143 с.
Лукашевич, И.Г. Математика в природе /И.Г. Лукашевич. -Минск: Белорус. ассоц. «Конкурс», 2013. - 48с.
Мир математики: в 40т. Т.1: ФернандоКорбалан. Золотое сечение. Математический язык красоты /Пер.с англ. - М.:Де Агостини, 2014. - 160с.
Стахов, А.П. Коды золотой пропорции/А.П. Стахов. - М.: «Радио и связь»,1984. – 152с.
Тимердинг, Г.Е. Золотое сечение /Г.Е.Тимердинг; под ред. Г.М.Фихтенгольца; пер. с нем.- Петроград: Научное книгоизд-во, 1924. – 86с.
Урманцев, Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии /Ю.А.Урманцев. - М.,Мысль,1974. - 229с.
Я познаю мир: Дет.энцикл: Математика /Авт.-сост. А.П.Савин и др.; худож.А.В.Кардашук и др. - М.: АСТ: Астрель, 2002. - 475с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЗНАЧЕНИЕ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Рисунок А.1 – Более точное значение Ф
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СООТВЕТСТВИЕ ПРОПОРЦИЙ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ТЕЛА ЗОЛОТОМУ СЕЧЕНИЮ
Таблица Б.1-Результаты измерения людей и вычисление среднеарифметических значений пропорций тела для учащихся 1, 5, 9, 11 классов и учителей
Класс
Рост (а)
Высота линии пупка (b)
Рассто-яние от пупка до головы (с)
а/b
b/c
Среднее арифме- тическое значение (a / b )
1
2
3
4
5
7
9
Золотое сечение
1,618
1,618
Андреев Владислав
1а
130
1,688
1,453
Грабцевич Дарья
1а
125
1,760
1,315
Ваванова Дарья
1а
127
1,716
1,396
Захаренко Родион
1а
124
1,676
1,480
1класс
Капориков Даниил
1а
133
1,684
1,463
1,701
Карсаков Захар
1а
120
1,690
1,449
Лазовый Максим
1а
128
1,707
1,415
Ласоцкая Анна
1а
125
1,645
1,551
Моргунова Мария
1а
116
1,758
1,320
Павлющенко Егор
1а
129
1,675
1,481
Раковский Александр
1а
128
1,707
1,415
Бахарева Ксения
5а
146
1,678
1,475
Бытковский Максим
5а
145
1,706
1,417
Жданович Виктория
5а
146
1,698
1,433
5класс
Климова Ксения
5а
155
1,632
1,583
1,652
Ларченко Евгения
5а
158
1,681
1,469
Листвягов Сергей
5а
143
1,644
1,554
Мухина Анастасия
5а
144
1,636
1,571
Падерина Анастасия
5а
151
1,659
1,517
Прочуханов Денис
5а
151
1,641
1,559
Савкина Анастасия
5а
140
1,609
1,642
Симакович Алевтина
5а
137
1,631
1,585
Сурганова Дарья
5а
150
1,630
1,586
Смоляров Владислав
5а
142
1,651
1,536
Тихинский Александр
5а
144
1,636
1,571
Аверков Алексей
9а
171
104
1,644
1,552
Продолжение таблицы Б.1
Учителя54
Булай Е.И.
учит.
163
101
62
1,614
1,629
1,630
Волкова О.В.
учит.
1,64
1,563
Гриневская Н.А.
учит.
1,644
1,554
Гринченко Е.Б.
учит.
1,636
1,571
58
Киреенко А.С.
учит.
175
108
67
1,62 0
1,612
Стукалов Д.М.
учит.
1,634
1,578
11класс и учителя
Цедрик Н.Е.
учит.
1,646
1,548
Шкоркина Н.Н.
учит.
1,602
1,661
1,626
Яценко В.Н.
учит.
1,604
1,656
ПРИЛОЖЕНИЕ В
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОПОРЦИЙ ТЕЛА У ЛЮДЕЙ РАЗНОГО ВОЗРАСТА
Рисунок В.1 – Результаты вычисления пропорций тела у учащихся 1 класса
Рисунок В.2 – Результаты вычисления пропорций тела у учащихся 5 класса
Рисунок В.3 – Результаты вычисления пропорций тела у учащихся 9 класса
Рисунок В.4 – Результаты вычисления пропорций тела у учащихся 11 класса
Рисунок В.5 – Результаты вычисления пропорций тела у учителей
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
СРАВНЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ ТЕЛА ЛЮДЕЙ РАЗНОГО ВОЗРАСТА
СО ЗНАЧЕНИЕМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Рисунок Г.1 – Сравнение средних пропорций тела людей разного возраста со значением золотого сечения
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
ЭТАПЫ РАБОТЫ НАД ИССЛЕДОВАНИЕМ
а) б) в)
Рисунок Д.1 - Изучение литературы
а) б) в)
г) д)
Рисунок Д.2 - Проведение измерений учащихся и учителей
Рисунок Д.3 – Ввод и обработка полученных данных
