К азалось бы, что может быть сложного или неправильного в изображении пирамиды? Неужели и здесь репетитор по математике не обходится без специальных приемов и методик? Отмечается всего лишь 4 точки (любые 3 из которых не лежат на одной прямой) и соединяются шестью отрезками. И все. Что здесь обсуждать? Но даже в такой простой ситуации репетитору по математике приходится исправлять ученические ошиби. Даже не столько математические, сколько стратегические. Какие? Рисунок, на котором невозможно рассмотреть или показать элементы пространственного тела, подписать значения величин, на котором не развернуться с дополнительными построениями, лучше переделать. Это должен понимать любой репетитор и в начале курса подготовки к ЕГЭ потратить некоторое время на обучение правилам и культуре чертежа. Кроме требований к его аккуратности и удобному расположению информации из условия задачи существуют еще и математические законы его выполнения. Рассмотрим их подробнее.
Метод изображений — отдельный предмет, изучению которого на математическом факультете МПГУ отводится целый семестр. То, что мы рисуем на бумаге – следы от проекций частей тела на некоторую плоскость. От нее зависит то, какие отрезки и какие сечения будут отчетливо видны, а какие окажутся «наползающими» друг на друга или скрытыми. Когда репетитор по математике решает, с какой стороны нарисовать ученику пирамиду, он определяет расположение плоскости и направление проецирования.
Существуют геометрические законы проецирования простейших стереометрических объектов. Длины непараллельных отрезков, например, при изображении могут менять соотношение своих длин (преподавателю лучше произнести «искажаются»). Если в реальности один из них больше другого, то в проекции может быть все с точностью до наоборот. Тоже самое и с углами. Прямой угол может проецироваться как в острый, так и в тупой. Для того, чтобы репетитору математики убедить в этом ученика стоит покрутить перед его глазами обычный угольник. Однако отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или совпадающих прямых, не меняется и, в частности, не искажаются середины сторон многоугольников (граней пирамиды). Это объясняет закон расположения основания высоты правильной треугольной пирамиды: оно должно являться точкой пересечения его медиан (центром тяжести). Не искажается также параллельность. Если в пространстве имеется параллельность между прямыми, то она сохраняется и между их следами. Поэтому изображением основания правильной четырехугольной пирамиды выбирается параллелограмм.
Важно расположить пирамиду так, чтобы все ее части не просто были видны, а допускали бы дальнейшее усложнение чертежа: проведение апофем, следов от сечений и т.д.
Для этого строить, например, правильную пирамиду желательно снизу вверх через высоту (так она используется почти во всех задачах). Сначала репетитор по математике рисует основание пирамиды, затем ее центр и из этой точки восстанавливает перпендикуляр. Его верний конец выбирается так, чтобы все наклонные ребра были достаточно удалены друг от друга. Если строить в обратном порядке можно промахнуться с центром многоугольника. Конечно, это не критично для решения задач на правильную треугольную пирамиду, но все равно неприглядно для восприятия. Середины должна отображаться серединами.
Построение основания
.
Независимо от вида основания тетраэдра его изображают остроугольным треугольником и вытягивают влево или вправо. Зачем? Если он будет равнобедренным, то одно из боковых ребер закроет высоту (если конечно ее основание правильно расположено). Это показано на рисунке.
Каким краем лучше всего изобразить пирамиду? То есть как оптимально выбрать плоскость для проецирования? Некоторые преподаватели и репетиторы по математике, к сожалению, не обращают внимание на такую «мелочь» как фронтальное расположение пирамиды. А зря. Существует два вида рисунка: «уголком основания к нам» или «уголком от нас» Рассмотрим рисунок с «уголком ABC от нас»:
Восстанавливаем высоту снизу вверх и выбираем положение ее конца (вершины пирамиды) с расчетом на приемлемый размах грани ABP. Для этого самое главное не попасть точкой P на линию AB. Иначе мы грань не увидим. Значительное отклонение от точки пересечения (в изображении) линий AB и OP вызывает довольно небольшое отклонение луча AP от луча AB и поэтому, чтобы добиться размаха грани ABP, необходимо выбирать точку P или очень низко или очень высоко.
Последнее может чрезмерно укрупнить рисунок, вытягивая пирамиду вверх (сокращая пространство для самого решения), а низкая точка делает рисунок мелким. Поэтому я не рекомендую репетиторам по математике работать с таким фронтом. Лучше всего перевернуть треугольник ABC уголком к нам.
Заметьте, что теперь положение точки P никак не сказывается на читабельности грани ABP и если не равнобедренный и «сильно остроугольный», а точка О – его центр тяжести (то есть O не на высоте основания), то высота пирамиды не будет закрыта ребром BP ни при каком расположении вершины P. 
В этом случае репетитор по математике получает определенную свободу выбора вершины пирамиды, что крайне важно для улучшения читабельности дальнейших построений в сложных задачах.
Прорисовка невидимых линий.
Репетитор по математике, конечно, может обойтись и без пунктиров. Однако что русскому то хорошо, то немцу смерь. Ученику — важно воспринять тело именно с той стороны, с которой его видит репетитор. Особенно при работе с гранями. Я советую преподавателю математики чаще называть грани не по вершинам, а по их естественному расположению: «ближняя», «дальняя», «левая», «правая». Если в голове у ребенка сформируется образ объекта «задом наперед», то возникнут проблемы с описанием хода дополнительных построений, чтением рисунка и даже с объяснением непонятных моментов решений.
о построении четырехугольной пирамиды
.
Основание правильной четырехугольной пирамиды следует изображаться в виде параллелограмма. Почему? Конечно, можно так расположить квадрат к плоскости проецирования, чтобы прямые углы сохранились (и мы получим прямоугольник), но тогда апофемы двух ближних граней будут закрывать высоту пирамиды. Другого объяснения сложившимся стандартам изображений я не нахожу.
Александр Колпаков, репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ .
Египет — таинственная цивилизация. Пирамида без сомнений является одним из главных артефактов этой страны. Когда мы видим на картинках изображение этого сооружения, понимаем, что речь идет об Египте, фараонах, мистике, туристах и путешествиях. Каждый художник в рисунке выражает свои мысли. Поэтому в этом уроке мы научимся геометрически точно изображать многогранник, рисовать статуи у её входа и египетскую природу.
Для начала мы узнаем, как нарисовать пирамиду карандашом.
Нарисуем треугольник.
Из верхнего угла проведем линию к любой точке на его основании. От того, в каком месте линия будет пересекать основание, будет зависеть итоговый ракурс, с которого зритель смотрит на многогранник.
К отрезку, оставшемуся внизу, построим две линии от правого и левого углов.
Уберем нижнее горизонтальное ребро, которое находится внутри и зритель не может его видеть. Получится вот так:
Добавим цвет и текстуру, её можно показать образно, в некоторых местах. Так будет понятно, что сооружение сделано из кирпича.
Давайте разберемся, как же поэтапно нарисовать пирамиду? Делается это всего лишь за три шага.
Этап 1
Рисуем основание как и в предыдущем примере.
Этап 2
Стираем ребро невидимой части основания. Обводим готовый контур.
Этап 3
Представляем, какое будет освещение и откуда будет падать свет. Это может быть солнце в пустыне, а может и свет от лампы, который падает на настольную фигуру. Та сторона, на которую падает свет — светлее, в тени — темнее. При более детальной подходе можно наложить тень между камнями монумента.
Теперь посмотрим, как нарисовать египетскую пирамиду. Для этого изобразим её и пейзаж Египта.
Нарисуем основание.
Отметим верхнюю точку. Из углов ромба построим ребра фигуры. Наметим горизонт.
Можно строить так, как указанно в первой части статьи. Для удобства мы изображаем разными способами.
Нарисуем текстуру и песок.
Добавим солнце, небо, рельеф пустыни, тень, которая падает с обратной стороны от солнца. Не забудем о тени на самом сооружении.
Наш рисунок готов.
Одна из величайших гробниц в Египта. В этой части урока мы узнаем, как нарисовать пирамиду Хеопса на бумаге. Для этого нам понадобится построить пирамиду, вход в неё и статуи по обеим сторонам от дверей.
Рисуем треугольник.
Добавляем перспективу. Подробно, как строить перспективу, показано в первых частях урока.
Рисуем текстуру. Горизонтальные линии кирпича параллельны горизонтальным линиям основы конструкции. В остальном кирпич рисуется, как обычный прямоугольник, только нужно учитывать, что то, что ближе к глазу — больше, а дальше — меньше.
Оставляем свободное место, для того чтобы поместился вход и статуи. Остальное можно обвести.
Строим прямоугольник. После этого две параллельные прямоугольнику линии справа и слева от него. Эти отметки помогут нам при изображении статуй.
Более детально прорисуем вход и статуи.
Нарисуем рельеф пустыни, небо и солнце. Добавим цвет.
Египетский пейзаж готов!
Одно из главных особенностей фигуры — это ее правильное построение, это также касается вопроса как нарисовать треугольную пирамиду. В древнем Египте хоронили фараонов, тело которых оставалось таким, как и в первоначальном состоянии после бальзамирования долгие долгие годы. Секрет этого в том, что внутри правильно построенного многогранника замедляются процессы жизнедеятельности.
В заключение этого небольшого пособия мы посмотрим, как нарисовать треугольную пирамиду.
Рисуем фигуру с тремя равными сторонами. Для этого легче всего использовать транспортир. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам.
Измерим каждую сторону и поделим пополам. К середине каждой стороны проведем линию из противоположного угла. Отметим точку пересечения трех полученных линий.
Из точки пересечения нарисуем горизонтальную линию, равную высоте полученной линии. Проведем линии от верха треугольника до углов его основания.
А вот так выглядит правильная четырехугольная пирамида.
Одно из величайших чудес мира — пирамиды Египта, сохранились до наших дней. Более того, каждый год множество туристов отправляются в Гизу лишь для того, чтобы увидеть пирамиды и Сфинкса, который как будто охраняет сооружения, неподвижно застыв среди руин древнего храма.
Чтобы заинтересовать ребенка, можно рассказать ему следующее:
Нарисовать пирамиды очень просто. Следите за нашей инструкцией и у вас все получится.
Вам понадобятся:
лист бумаги;
карандаш;
ластик;
линейка;
Шаг
1
Для начала рисуем прямоугольник, в котором будем размещать пирамиды. Чтобы облегчить процесс, можете воспользоваться линейкой.
Далее делим прямоугольник на три части. У вас должны получиться два прямоугольника слева и справа, а в центре квадрат, немного больше, чем прямоугольники.
Шаг
2
На этом этапе начинаем рисовать пирамиды. Для начала изображаем пирамиду в первом прямоугольнике. Ее еще называют пирамидой Хефрена. Она вторая по величине и находится перед остальными. Заметьте, что часть треугольника выходит за прямоугольник.
Пришла очередь Великой или пирамиды Хеопса. Она начинается в первом прямоугольнике и выходит за грани второго. Верх треугольника касается верхней стороны квадрата.
Шаг
4
Последняя пирамида фараона Микерина самая маленькая. Ее мы рисуем только в прямоугольнике, не выходя за грани. Часть этого сооружения спрятано за Великой пирамидой.
Шаг
5
Теперь нужно стереть все ненужные линии. Остаются лишь пирамиды. Полностью нарисована только первая, так как остальные спрятаны друг за другом.
Шаг
6
От верхушек пирамид проводим прямые линии вниз, обозначая углы.
По всей первой пирамиде проводим горизонтальные линии.
Эти линии через небольшие промежутки разделяем вертикальными линиями, обозначая кирпичи.
Рисуем горизонтальные линии на оставшихся пирамидах.
Аналогично разделяем линии, чтобы получились кирпичи.
5 829
Известно, что древние цивилизации Египта, Греции оставили о себе и различных сторонах своей жизни наглядные и разносторонние свидетельства в камне, рисунках, текстах, архитектуре, изваяниях. Египтяне постарались передать сведения о достигнутых знаниях разновариантными способами, помещая их в храмах, пирамидах, усыпальницах, различных подземных хранилищах. В наше время многое ещё не расшифровано и не познано. Внутри пирамиды Хеопса остаются до конца не разгаданными многие помещения и различные пустотные каналы. Одним из таких помещений является комната, где на столике лежит открытая книга об истории и достижениях страны на период завершения строительства пирамиды.
В известных рисунках и барельефных изображениях на каменных плитах встречаются многочисленные технические устройства непонятного назначения. Среди них имеются конструкции, напоминающие аккумуляторы и иные источники статического электричества. О них в средствах массовой информации стараются не упоминать. А зря. Знания о них могли бы пригодиться и для нашей цивилизации.
Изучение на каменных плитах рисунков и изображений технического характера закономерно привело к изучению внешних ступенчатых стен пирамиды Хеопса. К этому подвигло также то, что несколько лет назад внутри пирамиды была обнаружена интересная находка. В проходе, ведущем в камеру Царицы, высоко наверху справа имеется изображение мужского портрета размером около 10 см. Это изображение подобно фотографии на камне. Пока никто не знает, каким образом оно выполнено на этом месте.
На внешних стенах пирамиды были замечены сначала многочисленные криволинейные бороздки больших и малых размеров. Их изучение при определённом угле освещения позволило отчетливо увидеть на южной стороне изображение (портрет) мужчины среднего возраста. Размер портрета на наклонной стене по высоте составляет около 150 метров. В его портрете просматриваются различные по цвету камни (более светлые и более тёмные). В окружении портрета можно видеть также другие изображения (трезубец атлантов и скифов, птицу-самолёт, планы каменных строений, помещений пирамиды), тексты, отдельные буквы, большие знаки, напоминающие бутон цветка и т.п. Считается, что на портрете изображён Бог Тот (реальный богочеловек), который жил в тот период и оказывал помощь Хефрену — главному строителю Великой пирамиды (см рис. 1).
Последующие исследования уже на северной стороне пирамиды выявили портрет мужчины и женщины с наклонёнными головами друг к другу (рис. 2). Предположительно на портрете изображён сын фараона Хефрена со своей женой, которые внесли значительный вклад в строительство пирамиды (возможно, он был главным строителем пирамиды). На этой же стороне просматриваются другие портреты людей меньшего размера, знаки-символы, тексты, рисунки. Портретные изображения, вероятно, представляют божеств и выдающихся людей того времени. Это портретная галерея людей Египта.
Столетие спустя на изображение сына Хефрена был нанесён портрет одного из египетских полководцев таким образом, что все изображения просматриваются без искажения, как раннего, так и позднего периодов нанесения (рис. 3). Имеются множественные изображения также на восточной и западной сторонах пирамиды, которые предстоит ещё исследовать и уточнять. Эти уникальные портретные и иные
изображения на громадной площади стен пирамиды были нанесены всего за несколько лет после завершения строительства основной пирамиды и установки в 2630 г. до н.э. верхнего камня, хранящегося сейчас в музее Каира (рис. 4). Этот камень имеет высокохудожественную наружную роспись. Его просвечивание показывает, что внутрь него вставлен через замурованное снизу отверстие особый предмет, несущий информацию. В последующие десятилетия и столетия продолжали наноситься новые изображения и информация. Удивляет огромное количество нанесённых изображений, а также их ювелирное исполнение. По технике нанесения они значительно превосходят рисунки пустыни Наска, США, Англии…
На восточной стороне пирамиды от её вершины до основания хорошо просматривается полоса шириной около 7 метров от какого-то физического воздействия на каменные блоки. Это свидетельство того, что именно здесь находилось наращиваемое по длине транспортирующее устройство для подачи вверх каменных блоков. Это устройство работало (с потреблением электричества), используя принцип соленоида. Для транспортировки каменные блоки крепились к железным поддонам и подавались вверх. А сверху они спускались вниз в средней части западной стены. Следы от этого спуска поддонов имеются также на западной стороне пирамиды.
Электротранспортное устройство получало статическое (янтарное) электричество от внутренних трёх тройных помещений, находившихся в самой пирамиде, а также от нескольких генерирующих установок, располагавшихся у подножья пирамиды.
Имеются основания верить преданиям в том, что после окончания строительства этот транспортёр был спрятан в подземное хранилище у пирамиды на глубине нескольких десятков метров.
Остаётся загадкой технология нанесения портретных и иных изображений на наклонной ступенчатой поверхности для просмотра их от подножья пирамиды без искажения.
Не исключено, что при оформлении портретов отдельные камни могли подвергаться физико-химическому воздействию для придания им более светлого или тёмного оттенков, с поглощением или излучением света.
Не являются ли обнаруженные изображения на стенах пирамиды Хеопса тем тайным сосредоточием знаний и информации о древней египетской цивилизации, о которой писали Геродот и другие.
Поистине справедливо изречение «лицом к лицу — лица не разобрать», когда миллионы людей бывают у Великой пирамиды и не замечают реальной информации на её внешних стенах. Заметят ли теперь?
В древности люди были не особо дальновидными и оптимистическими, и вовсе считали, что люди от силы проживут до 2012 года, а потом будут гореть в геенне огенной. Поэтому способности объяснять вещи, или хотя бы намекать на их суть у них не было, в общем, как умения делать вещи простые. Майя сделали постапокалиптический календарь, вызвавший много мух из слона и мыслей о жизни в среднестатистического человека, а египтяне древние построили пирамиды, предназначение которых волнует даже художников. А раз так, мы будем учится как рисовать пирамиды карандашом. Пирамиды Хеопса — одно из чудес света, куча булыжников, приносящих большой доход от наплыва туристов, а также архитектурный шедевр, построенный еще до нашей с вами эры. В давние времена, за правления бога солнца Ра, их использовали для погребения фараонов, жертвоприношения, платонических контактов с потусторонним миром и других массовых развлечений. Пирамидообразная конструкция как оказалось очень надежная постройка, поэтому подобные здания сооружались и в Месопотамии, Китае, Марсе и Лас Вегасе. Если верить точным источникам из википедии, то пирамиды в Египте называются египетскими, в Китае китайскими и так дальше. Ну вы поняли.
Одно я знаю наверняка, рисовать мистические сооружения куда проще, чем строить, тем более, если делать это по таким шагам:
Шаг первый. Нарисуйте несколько треугольников, желательно, ровных, а снизу будет песочный фон с верблюдами. Пока что обозначим их окружностями.
Шаг второй. Аккуратно выделите формы пирамид, обведите контуры.
Шаг третий. Теперь добавим несколько бедуинов с верблюдами.
Шаг четвертый. Добавим немного штрихов для правдоподобности. Можно даже раскрасить цветными карандашами. Но это уже оставляю Вам:
Попробуйте нарисовать еще и другие загадочные места нашей планеты.
